旋转矩阵

用行列式为 1 的 3×3 正交矩阵表示三维旋转，乘上向量就把它转过去。

旋转矩阵是描述三维朝向最基础的方式。3×3 矩阵 R 的三列，分别是物体自身坐标系的 x、y、z 轴在参考坐标系里的方向（单位向量），每个元素等于两根轴夹角的余弦，所以也叫方向余弦矩阵。它必须满足 RᵀR = I（各列互相垂直、长度为 1）且 det R = 1，所有这样的矩阵构成特殊正交群 SO(3)。9 个数里只有 3 个自由度，有冗余，但没有欧拉角那样的奇异点，运算也简单：把一个向量转过去就是用 R 左乘它，连续两次旋转就是矩阵相乘（顺序不能换），求逆只需转置。旋转矩阵加上平移，就是 4×4 的齐次变换矩阵。

例子绕 z 轴转 θ 的旋转矩阵是 [[cosθ, −sinθ, 0], [sinθ, cosθ, 0], [0, 0, 1]]；θ = 90° 时，原来指向 x 方向的向量 (1, 0, 0) 被转到 (0, 1, 0)。

也叫

方向余弦矩阵、Direction Cosine Matrix、DCM

相关

特殊正交群 SO(3)、齐次变换矩阵、四元数、轴角、6D 旋转表示、坐标变换

来源

Wikipedia: Rotation matrix
Modern Robotics (Lynch & Park, 2017), 3.2.1 Rotation Matrices