四元数

用 4 个数表示三维旋转，机器人软件里最常用的朝向格式。

四元数由哈密顿（William Rowan Hamilton）在 1843 年提出，形式为 w + xi + yj + zk。长度为 1 的单位四元数可表示三维旋转：绕单位轴 u 转 θ 角，对应 q = (cos(θ/2), u·sin(θ/2))，前一项是实部 w，后三项是虚部 x、y、z。它没有欧拉角的万向节死锁（某些角度下丢掉一个转动自由度），又比 9 个数的旋转矩阵紧凑、插值平滑，ROS、MuJoCo 都用它存朝向。注意：q 和 −q 是同一个旋转；分量顺序各家不同，MuJoCo 是 wxyz，ROS 消息是 xyzw，混用是常见 bug。

例子绕 z 轴转 90°：θ/2 = 45°，按 wxyz 写是 (0.707, 0, 0, 0.707)，填进 ROS 的 Quaternion 消息则是 x=0, y=0, z=0.707, w=0.707。

也叫

单位四元数、Unit Quaternion、姿态四元数

相关

旋转矩阵、欧拉角、万向节死锁、四元数双倍覆盖、球面线性插值、四元数分量顺序约定（wxyz / xyzw）

来源

Wikipedia: Quaternions and spatial rotation
Wikipedia: Quaternion（History）
ROS 2 common_interfaces: geometry_msgs/msg/Quaternion.msg
MuJoCo Documentation: Modeling（Frame orientations：quat 默认 1 0 0 0，实部在前）