特殊正交群 SO(3)

三维空间所有旋转构成的集合，元素是行列式为 1 的正交矩阵。

SO(3) 是三维空间中所有旋转构成的群，元素是满足 RᵀR=I（Rᵀ 为转置，I 为单位阵，即正交）且 det R=1（行列式为 1，排除镜像）的 3×3 旋转矩阵。两个旋转相乘仍是旋转，但顺序不能交换。它是一个 3 维的弯曲空间（流形）而非普通向量空间，旋转不能直接相加或取平均，这正是四元数、6D 表示、球面插值等方法存在的原因。把平移也并进来就得到特殊欧氏群 SE(3)，即用 4×4 齐次变换矩阵表示的刚体位姿，共 6 个自由度。二者都是李群，在单位元处的切空间叫李代数 so(3)、se(3)；so(3) 就是 3×3 反对称矩阵，与三维角速度向量一一对应，经指数映射可变回旋转。

例子机械臂末端位姿是 SE(3) 中的一个 4×4 矩阵：左上 3×3 是 SO(3) 旋转，右上一列是位置。神经网络直接回归 9 个数得到的矩阵一般不满足 RᵀR=I，需要用 SVD 或 Gram-Schmidt 正交化投影回 SO(3)。

也叫

三维旋转群、SO3、特殊欧氏群 SE(3)、Special Euclidean Group SE(3)、特殊欧几里得群、SE3、刚体运动群、李代数、Lie Algebra、so(3)、se(3)

相关

旋转矩阵、李群、指数映射、反对称矩阵、齐次变换矩阵、6D 旋转表示

来源

Wikipedia: 3D rotation group
Modern Robotics (Lynch & Park), Ch.3 Rigid-Body Motions (Definitions 3.1, 3.13)
Wikipedia: Euclidean group