指数映射

Exponential Map进阶

把「转轴×转角」这类向量变成旋转或位姿的映射，对数映射反过来。

指数映射来自李群理论，把李代数（群在单位元处的切空间，可理解为「速度」所在的线性空间）中的元素映到李群本身；对矩阵李群，它就是矩阵指数 exp(X) = I + X + X²/2! + …。对数映射是它在单位元附近的逆。机器人里最常用的是旋转：把单位转轴 ω̂ 和转角 θ 合成三维向量 ω̂θ（指数坐标，也叫旋转向量），写成反对称矩阵 [ω̂]θ 后取指数得到旋转矩阵 R，闭式结果就是罗德里格斯公式；对 R 取对数又得回 ω̂θ。同理，se(3) 到 SE(3) 的指数映射把旋量变成齐次变换，是指数积公式的基础。状态估计和优化里常在平直的切空间做加减，再用 exp 映回旋转，避免直接加减旋转矩阵破坏正交性。