线性二次调节器

线性系统的最优反馈控制：权衡状态误差和控制代价，解出固定增益 u = −Kx。

LQR 是最基础的最优控制方法，理论在 1960 年前后由卡尔曼等人奠定。它假设系统是线性的：ẋ = Ax + Bu，x 是状态，u 是控制输入，矩阵 A、B 描述系统；代价是二次型，即对时间积分 xᵀQx + uᵀRu。Q 表示多在意状态偏离目标，R 表示多在意控制用力，二者由人来调。求解一个 Riccati 方程就得到增益矩阵 K，最优控制是 u = −Kx，运行时只是一次矩阵乘法。和 PID 相比，LQR 天然处理多输入多输出，并直接在「误差」和「用力」之间权衡；和 MPC 相比，它处理不了力矩上限这类约束。机器人是非线性的，常见做法是在平衡点附近线性化再用 LQR，只在该点附近有效；沿一条轨迹逐点线性化就得到时变 LQR，这也是 iLQR 的基础。

例子把倒立摆或 Acrobot（两连杆体操机器人）在竖直向上的平衡点附近线性化，用 LQR 算出增益，就能把它稳稳顶在倒立位置；两轮平衡车的平衡控制也常用这一套。

也叫

LQR 控制、线性二次型调节器

相关

线性二次高斯控制、迭代线性二次调节器、最优控制、模型预测控制、PID 控制、倒立摆模型

来源

Underactuated Robotics (Russ Tedrake), Ch. Linear Quadratic Regulators
Linear–quadratic regulator - Wikipedia