对偶四元数

用 8 个数同时表示三维旋转和平移的代数工具。

对偶四元数是系数为对偶数的四元数，写成 q = r + εd：r、d 都是普通四元数，ε 是满足 ε² = 0 的对偶单位，共 8 个实数分量。Study 在 1891 年指出这套代数适合描述三维空间的刚体运动，Kotelnikov 在 1895 年也独立提出。就像单位四元数表示旋转，单位对偶四元数能表示一个完整的刚体变换（位姿）：r 表示旋转，d = ½·t·r 编码平移 t。两个变换的复合就是对偶四元数相乘，比 4×4 齐次变换矩阵更紧凑，也便于在两个位姿之间插值。机器人学里 DQ Robotics 等开源库用它做机械臂运动学建模和控制，计算机图形学中也有应用。

例子先绕 z 轴转 90° 再平移 (1, 0, 0)：r = (cos45°, 0, 0, sin45°)，t 写成纯四元数 (0, 1, 0, 0)，算出 d = ½·t·r，r 和 d 合起来 8 个数就表示这个位姿。

也叫

双四元数、Dual Quaternions、单位对偶四元数

相关

四元数、齐次变换矩阵、旋量理论、位姿、李群、球面线性插值

来源

Wikipedia: Dual quaternion
DQ Robotics（dual quaternion robot modelling and control library）