直接配点法

把轨迹切成节点，把动力学写成节点间的约束，转成一个大优化问题来求解。

直接配点法是轨迹优化里最常用的「转写」方法之一，由 Hargraves 和 Paris 在 1987 年提出，作用是把连续时间的最优控制问题变成有限维的非线性规划（NLP）。做法是把时间切成 N 段，每个节点上的状态 x_k 和控制 u_k 都当优化变量，节点之间用多项式连起来（常见是控制分段线性、状态用三次样条），再要求多项式在配点（如区间中点）处的导数等于动力学 ẋ = f(x, u)，用这些等式约束保证轨迹符合物理。打靶法只优化控制、状态靠仿真积分得到，时域一长就对初值很敏感；配点法把状态也当变量，初值可以随手画一条，状态约束好加，问题稀疏，适合交给 IPOPT、SNOPT 等求解器。缺点是变量多，迭代中途的轨迹不一定满足动力学。多重打靶法介于两者之间。

例子小车倒立摆摆起：把整段时间切成若干节点，以每个节点的小车位置、摆角、速度和推力为变量，约束相邻节点满足动力学、终点摆杆竖直，目标是推力平方和最小，求解后得到一条摆起轨迹。Matthew Kelly 发表在 SIAM Review 的入门教程专讲这一方法，Drake 里也有现成的 DirectCollocation 类。

也叫

配点法、直接配置法、Collocation method

相关

轨迹优化、多重打靶法、序列二次规划、接触隐式轨迹优化、Drake、Ipopt

来源

Underactuated Robotics (Tedrake), Ch. Trajectory Optimization
Drake: DirectCollocation Class Reference
Matthew Kelly: Trajectory Optimization tutorials