三次样条插值

用分段三次多项式把一串路点连成位置、速度都连续的平滑曲线。

三次样条插值是数值分析里的经典方法：给定一串路点，每两个相邻路点之间用一段三次多项式 q(t) = a₀ + a₁t + a₂t² + a₃t³ 连接，要求相邻两段在连接处位置和速度（一阶导）连续；标准三次样条还要求加速度（二阶导）连续，再配上端点条件，例如自然样条令两端二阶导为零，夹持样条指定两端速度。比起用一个高次多项式穿过所有点，它不会出现龙格现象那种剧烈振荡。机器人里常用它把规划器或策略给出的稀疏路点插值成控制器每个周期需要的密集指令。若只给定每段首末的位置和速度，段与段之间的加速度可能跳变，对应很大的加加速度，引起冲击，这时会改用五次多项式。

例子关节在 2 秒内从 0 转到 1 弧度、起止速度都为 0，单段三次多项式为 q(t) = 3(t/2)² − 2(t/2)³，中点 t = 1 秒时速度最大，为 0.75 rad/s。ROS 2 的 joint_trajectory_controller 按路点信息选插值方式：只给位置时线性插值，给位置和速度时用三次样条，再给加速度时用五次样条。

也叫

三次样条、三次样条曲线、Cubic Spline

相关

轨迹插值、五次多项式插值、路点、时间参数化、最小加加速度轨迹、加加速度

来源

Wikipedia: Spline interpolation
ros2_control: joint_trajectory_controller 轨迹表示与插值