李雅普诺夫稳定性

判断系统受扰后能否回到平衡点的理论，常用一个只减不增的「能量函数」来证明。

李雅普诺夫稳定性来自俄国数学家李雅普诺夫 1892 年的博士论文，是分析非线性系统稳定性的基础。它分几档：从平衡点附近出发的状态始终不跑远，叫李雅普诺夫稳定；不但不跑远，最终还回到平衡点，叫渐近稳定；回去的速度至少按指数衰减，叫指数稳定。最常用的是第二方法（直接法）：不去解微分方程，而是找一个函数 V(x)，在平衡点等于 0、其他地方大于 0，并且沿系统轨迹随时间不增加（dV/dt ≤ 0），就能证明稳定；严格减小则渐近稳定。V 可以理解为广义能量，但不必是真实的物理能量。难点在于没有通用方法构造 V。机器人里 PD 加重力补偿、阻抗控制、无源性控制的稳定性证明都靠它，控制李雅普诺夫函数、控制障碍函数也是在它基础上发展出来的。

例子带阻尼的单摆：取 V = 动能 + 势能（以最低点为零），可以算出沿运动轨迹 dV/dt = −b·θ̇²（b 是阻尼系数，θ̇ 是角速度），能量只减不增，于是不用解出摆的运动方程就知道最低点是稳定的；再配合 LaSalle 不变性原理，还能证明摆最终停在最低点。

也叫

李雅普诺夫函数、Lyapunov function、李雅普诺夫第二方法、李雅普诺夫直接法

相关

控制李雅普诺夫函数、控制障碍函数、无源性控制、阻抗控制、动态稳定、鲁棒控制

来源

Lyapunov stability - Wikipedia